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sábado, 30 de enero de 2016

Resolución de problemas matemáticos n° 3.

Fuente: https://orientacionsanvicente.files.wordpress.com/2012/05/imagen-1.png
Resolución de problemas n° 3.

Para efectos de ilustración sobre conceptos previos relacionados con la resolución de problemas matemáticos y solución del problema n° 1, accédase a los mismos al seguir este enlace:




Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: decenas, unidades, sistemas de numeración y conversión de un número dado en un sistema de numeración al sistema de numeración decimal, entre otros. 

a) El problema propuesto aunque parezca absurdo, insólito e incluso sin solución, puede ser resuelto si se recurre a las ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

b)  El lector perspicaz y que haya aprovechado sus clases de Matemática, podrá comprender que los datos del problema no corresponden al sistema decimal; por cuanto la pregunta propuesta, sería absurda.

c) Suponga que la base del sistema de numeración desconocido es x; entonces, el número “84” equivale a 8 unidades de segundo orden y 4 de unidades de primer orden, del sistema decimal; esto es: 

d) Luego, aplicando el mismo razonamiento, se tiene que:

e)  Entonces, es posible obtener la ecuación para el cálculo de la base desconocida:


f) Al resolver la ecuación (**), se obtiene que  x = 12; i.e. la base del sistema de numeración desconocido es 12.


g) Así, al sustituir x = 12 en la ecuación (*), se tiene que: 



h) Conclusión: 
La equivalencia de 84 (en base 12) es igual a 100 (en base10):


NOTA. Ahora que ya sabe resolver este tipo de problemas, resuelva estos otros.


Bibliografía.

Perelman, Y. I. (1985). ÁLGEBRA RECREATIVA. (C. y. Pérez, Trad.) México, D.F.: Ediciones de Cultura Popular, S.A., pág. 72.










viernes, 29 de enero de 2016

Resolución de problemas matemáticos n° 2.


Resolución de problemas n° 2.

Para efectos de ilustración sobre conceptos previos relacionados con la resolución de problemas matemáticos y solución del problema n° 1, accédase a los mismos al seguir este enlace:


Problema 2 (Categoría: Teoría de los Números).

¿Qué día de la semana correspondió al 29 de enero de 1592? [1]

Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: múltiplo, cociente entero, regla de divisibilidad por 4, regla de divisibilidad por 400, calendario Juliano [2], calendario Gregoriano, año secular, año bisiesto [3] y días de la semana, entre otros. 

a) Calendario gregoriano. [4]

En el año 1582, el Papa Gregorio XIII (decimotercero) encargó al astrónomo italiano Cristóbal Clavio, trabajar sobre una reforma del calendario, especialmente en lo concerniente a los años bisiestos; por cuanto la duración del año no es exactamente de 365,25 días (365 1/4 días) sino de 365 días 5 horas 49 minutos y 16 segundos, según las tablas astronómicas elaboradas por la Academia de Toledo en el siglo XIII, por orden expresa de Alfonso X El Sabio (1221-1284), rey de Castilla y León.

Con base en las recomendaciones de Clavio, el Papa Gregorio XIII decretó lo siguiente:

       i.          i)  Será bisiesto aquel año cuya cifra sea divisible por 4, excepto los años seculares, múltiplos de 100, los cuales serán bisiestos únicamente si son divisibles por 400.

     ii.          ii)   Dado que desde la vigencia del calendario Juliano se habían considerado como bisiestos, años que no debieron serlo y había un error acumulado de 10 días, se quitarían 10 días al calendario: el día siguiente al 4 de octubre de 1582 (fiesta de San Francisco de Asís) sería llamada a ser 15 de octubre (este año de 1582 es el año más corto de la cristiandad, con 355 días).



[1] Adaptación del problema correspondiente al lunes 29, Calendario CIEMAC 2007, Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica (TEC).
[2] Calendario nombrado así en honor a Julio César, emperador de Roma, quien encargó a Sosígenes, astrónomo de Alejandría, perfeccionar el calendario que se usaba en esa época; para lo cual, se consideró la duración del año en 365,25 días. Debido que cada cuatro años se completaba 1 día con las fracciones (0,25 día), se conformó el año de 366 días, que se denominó bisiesto.
[3] En un año bisiesto febrero tiene 29 días y por ello, es un año de 366 días; por ejemplo, el año 2016 es bisiesto.



b) Desde el 29 de enero de 1592 hasta el 29 de enero de 2016, han transcurrido 424 años. Si se divide 424 años entre 4, el cociente entero equivale a la cantidad de años divisibles por 4; esto es, 106 años. Pero entre 1592 y 2016 hay cinco años seculares: 1600, 1700, 1800, 1900 y 2000; de los cuales tres no son bisiestos: 1700, 1800 y 1900, porque no son divisibles entre 400.


c) Del paso anterior, se concluye que 103 años de los últimos 424 años, han sido bisiestos.


d) Se puede hacer el cálculo de días transcurridos, durante el lapso indicado en el paso (b), al multiplicar los años transcurridos por 365 y sumar un día adicional por cada año bisiesto, que equivale a sumar 103; esto es:




e) Se procede a dividir 154863 días entre 7, pues una semana tiene 7 días:


Esto significa que han transcurrido 22123 semanas y 2 días.


f) En 2016, el 29 de enero corresponde al día viernes; por lo tanto, restando dos días, se obtiene que el 29 de enero de 1592 correspondió al día miércoles.


g) Conclusión: El 29 de enero de 1592 correspondió a un miércoles.



Bibliografía

Alfonseca Moreno, Manuel, El Tiempo y El Hombre, Madrid: Editorial Alhambra, S.A., 1985.

Murillo Tsijli, Manuel; González Argüello, José Fabio. (2006). Teoría de los números. Cartago, Costa Rica: Editorial Tecnológica de Costa Rica.  [4]


martes, 19 de enero de 2016

Resolución de problemas matemáticos n° 1.

Fuente: http://c.asstatic.com/images/1519133_634817230063281250-1.jpg

Inicio hoy, martes 19 de enero de 2019, aportes importantes referentes a la resolución de problemas matemáticos; eso sí, muy diferentes a los que se acostumbra plantear en la enseñanza de la Matemática propia de sistemas educativos tradicionales, caducos y retrógrados.

Actualmente, la resolución de problemas se  considera la parte más esencial de la educación matemática, por cuanto mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes están en la capacidad de experimentar el valor y la utilidad de las Matemáticas en la vida cotidiana, y tomar aprecio de la misma como una herramienta muy útil para explicar y entender los fenómenos naturales, así como un apoyo esencial tanto para las Ciencias Naturales como para las demás Ciencias Exactas, como la Estadística, por ejemplo, que es una disciplina muy valiosa para las denominadas "Ciencias Sociales", tales como: la Sociología y la Psicología, entre otras.

En primera instancia, antes de iniciar el estudio de la resolución de problemas matemáticos es necesaria la delimitación del concepto de problema; i.e,  ¿qué es lo que se entiende por problema?

Problema. 
Se define problema como una cuestión a la que no es posible contestar por la aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverlo es precisa la aplicación de varios conocimientos previos, ya sean matemáticos o no matemáticos y buscar relaciones nuevas entre éstos.

En la resolución de problemas el procedimiento a seguir no es tan evidente; incluso puede haber varios procedimientos y por supuesto, el o los procedimientos no están codificados ni se han enseñado previamente al estudiante (entiéndase estudiante como persona que está aprendiendo). La mayoría de las veces, debe recurrirse a conocimientos dispersos y poner a punto relaciones nuevas.

Posteriormente, escribiré un artículo sobre las pautas y estrategias que deben aplicarse en la resolución de problemas.

Problema 1. (Categoría: Teoría de los Números)

Determine un número de cuatro cifras de la forma aabb que sea un cuadrado perfecto.

Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: número primo, número par, número impar, número cuadrado perfecto, divisor, múltiplo, factorización completa de un número en sus factores primos y reglas de divisibilidad, entre otros. 

Debe tenerse en cuenta lo siguiente:


ii) Existe una regla de divisibilidad para comprobar si un número dado es divisible por 11:
     "Un número es divisible por 11 sí y sólo sí la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar par y la suma de los dígitos de lugar impar es divisible por 11."
Por ejemplo, el número 1925 es divisible por 11; pues:

9 + 5 = 14  (suma de las dígitos de lugar par)

1 + 2 = 3    (suma de los dígitos de lugar impar)

14 - 3 = 11  (diferencia de las sumas anteriores)

Luego, 11 es divisor de sí mismo y por consiguiente, 1925 es divisible por 11.


Pasos para la solución del problema propuesto.

a)  Para que el número
                                   
sea un cuadrado perfecto, el número de la forma a0b debe ser múltiplo de 11, esto es  a + b debe ser un múltiplo de 11, el cual sólo puede ser 11; puesto que los dígitos pertinentes deben estar entre 2 y 9; por ejemplo:


b) Entonces:

donde el factor 9a + 1 debe ser un cuadrado perfecto.

c) Comprobando para los valores del 2 al 9, en la expresión 9a + 1, se obtiene que dicha expresión corresponde a un cuadrado perfecto cuando  a = 7; pues 9(7) + 1 = 64. Para tal efecto, puede confeccionarse una tabla en Excel como la siguiente:



d) Por consiguiente, a0b = 704  y como 704 = (64)(11), se obtiene que:

e) Conclusión:  El número buscado es 7744.


Comentario.

Mediante la resolución de este problema, usted ha podido comprobar como muchos conceptos que ha aprendido desde la enseñanza primaria y que en muchas ocasiones se juzgan como inútiles; si se utilizan adecuadamente y siguiendo un procedimiento ordenado y lógico, permiten la comprensión de conceptos diferentes y la resolución de problemas que al principio nos parecen imposibles o muy difíciles de resolver para una persona sin preparación adecuada en el campo de la Matemática.

domingo, 17 de enero de 2016

Proyecto PALE RED DOT (European Southern Observatory-ESO)


El pasado viernes 15 de enero de 2016 el Observatorio Austral Europeo (European Southern Observatory-ESO) lanzó el proyecto PALE RED DOT (Punto Rojo Pálido) cuyo objetivo es que el público general pueda seguir a científicos de todo el mundo mientras buscan exoplanetas similares a la Tierra en las cercanías de Proxima Centauri (Próxima Centauri), la estrella más próxima a nuestro sistema solar, que forma parte del sistema triple estelar Alfa Centauri de la constelación Centaurus (Centauro).

A continuación, adjunto traducción libre del comunicado e invitación de ESO con respecto al proyecto, donde se enfatiza la invitación en los divulgadores científicos.

Estimados Colaboradores de Divulgación Científica.

¡Estamos muy emocionados por invitarle a unirse a nosotros en una cacería de planetas en directo!

El viernes 15 de enero de 2016,  lanzamos el proyecto Punto Rojo Pálido - una campaña de difusión única que permitirá al público en general seguir a científicos de todo el mundo, mientras buscan un exoplaneta similar a la Tierra en las cercanías de la estrella más cercana a nosotros, Proxima Centauri. La campaña de observación se desarrollará de enero a abril de 2016 y estará acompañada por blogs y actualizaciones en los medios de comunicación social. Nadie sabe cuál será el resultado. En los meses siguientes a las observaciones, los científicos analizarán los datos y presentarán los resultados en una revista revisada por profesionales.

Usted puede leer más sobre la campaña aquí: https://www.eso.org/public/announcements/ann16002/

Las actualizaciones del blog están disponibles aquí: http://www.palereddot.org/

También puede seguir la campaña en Twitter: @Pale_Red_Dot  e interactuar con los científicos usando el hashtag #PaleRedDot

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Dear outreach partners,

We are excited to invite you to join us in a live planet hunt!

On January 15, 2016 we have launched the Pale Red Dot project — a unique outreach campaign that will allow the general public to follow scientists from around the globe as they search for an Earth-like exoplanet around the closest star to us, Proxima Centauri. The observing campaign will run from January to April 2016 and will be accompanied by blog posts and social media updates. No one knows what the outcome will be. In the months following the observations, the scientists will analyse the data and submit the results to a peer-reviewed journal.

You can read more about the campaign here: https://www.eso.org/public/announcements/ann16002/

Blog updates are available here: http://www.palereddot.org/

You can also follow the campaign on Twitter @Pale_Red_Dot and interact with scientists using the hashtag #PaleRedDot


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