Resolución de problemas matemáticos n° 1.

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Inicio hoy, martes 19 de enero de 2019, aportes importantes referentes a la resolución de problemas matemáticos; eso sí, muy diferentes a los que se acostumbra plantear en la enseñanza de la Matemática propia de sistemas educativos tradicionales, caducos y retrógrados.

Actualmente, la resolución de problemas se  considera la parte más esencial de la educación matemática, por cuanto mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes están en la capacidad de experimentar el valor y la utilidad de las Matemáticas en la vida cotidiana, y tomar aprecio de la misma como una herramienta muy útil para explicar y entender los fenómenos naturales, así como un apoyo esencial tanto para las Ciencias Naturales como para las demás Ciencias Exactas, como la Estadística, por ejemplo, que es una disciplina muy valiosa para las denominadas "Ciencias Sociales", tales como: la Sociología y la Psicología, entre otras.

En primera instancia, antes de iniciar el estudio de la resolución de problemas matemáticos es necesaria la delimitación del concepto de problema; i.e,  ¿qué es lo que se entiende por problema?

Problema. 
Se define problema como una cuestión a la que no es posible contestar por la aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverlo es precisa la aplicación de varios conocimientos previos, ya sean matemáticos o no matemáticos y buscar relaciones nuevas entre éstos.

En la resolución de problemas el procedimiento a seguir no es tan evidente; incluso puede haber varios procedimientos y por supuesto, el o los procedimientos no están codificados ni se han enseñado previamente al estudiante (entiéndase estudiante como persona que está aprendiendo). La mayoría de las veces, debe recurrirse a conocimientos dispersos y poner a punto relaciones nuevas.

Posteriormente, escribiré un artículo sobre las pautas y estrategias que deben aplicarse en la resolución de problemas.

Problema 1. (Categoría: Teoría de los Números)

Determine un número de cuatro cifras de la forma aabb que sea un cuadrado perfecto.

Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: número primo, número par, número impar, número cuadrado perfecto, divisor, múltiplo, factorización completa de un número en sus factores primos y reglas de divisibilidad, entre otros. 

Debe tenerse en cuenta lo siguiente:

ii) Existe una regla de divisibilidad para comprobar si un número dado es divisible por 11:

     "Un número es divisible por 11 sí y sólo sí la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar par y la suma de los dígitos de lugar impar es divisible por 11."

Por ejemplo, el número 1925 es divisible por 11; pues:

9 + 5 = 14  (suma de las dígitos de lugar par)

1 + 2 = 3    (suma de los dígitos de lugar impar)

14 - 3 = 11  (diferencia de las sumas anteriores)

Luego, 11 es divisor de sí mismo y por consiguiente, 1925 es divisible por 11.


Pasos para la solución del problema propuesto.

a)  Para que el número
                                   
sea un cuadrado perfecto, el número de la forma a0b debe ser múltiplo de 11, esto es  a + b debe ser un múltiplo de 11, el cual sólo puede ser 11; puesto que los dígitos pertinentes deben estar entre 2 y 9; por ejemplo:

b) Entonces:

donde el factor 9a + 1 debe ser un cuadrado perfecto.

c) Comprobando para los valores del 2 al 9, en la expresión 9a + 1, se obtiene que dicha expresión corresponde a un cuadrado perfecto cuando  a = 7; pues 9(7) + 1 = 64. Para tal efecto, puede confeccionarse una tabla en Excel como la siguiente:

d) Por consiguiente, a0b = 704  y como 704 = (64)(11), se obtiene que:

e) Conclusión:  El número buscado es 7744.

Comentario.

Mediante la resolución de este problema, usted ha podido comprobar como muchos conceptos que ha aprendido desde la enseñanza primaria y que en muchas ocasiones se juzgan como inútiles; si se utilizan adecuadamente y siguiendo un procedimiento ordenado y lógico, permiten la comprensión de conceptos diferentes y la resolución de problemas que al principio nos parecen imposibles o muy difíciles de resolver para una persona sin preparación adecuada en el campo de la Matemática.