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sábado, 30 de enero de 2016

Resolución de problemas matemáticos n° 3.

Fuente: https://orientacionsanvicente.files.wordpress.com/2012/05/imagen-1.png
Resolución de problemas n° 3.

Para efectos de ilustración sobre conceptos previos relacionados con la resolución de problemas matemáticos y solución del problema n° 1, accédase a los mismos al seguir este enlace:




Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: decenas, unidades, sistemas de numeración y conversión de un número dado en un sistema de numeración al sistema de numeración decimal, entre otros. 

a) El problema propuesto aunque parezca absurdo, insólito e incluso sin solución, puede ser resuelto si se recurre a las ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

b)  El lector perspicaz y que haya aprovechado sus clases de Matemática, podrá comprender que los datos del problema no corresponden al sistema decimal; por cuanto la pregunta propuesta, sería absurda.

c) Suponga que la base del sistema de numeración desconocido es x; entonces, el número “84” equivale a 8 unidades de segundo orden y 4 de unidades de primer orden, del sistema decimal; esto es: 

d) Luego, aplicando el mismo razonamiento, se tiene que:

e)  Entonces, es posible obtener la ecuación para el cálculo de la base desconocida:


f) Al resolver la ecuación (**), se obtiene que  x = 12; i.e. la base del sistema de numeración desconocido es 12.


g) Así, al sustituir x = 12 en la ecuación (*), se tiene que: 



h) Conclusión: 
La equivalencia de 84 (en base 12) es igual a 100 (en base10):


NOTA. Ahora que ya sabe resolver este tipo de problemas, resuelva estos otros.


Bibliografía.

Perelman, Y. I. (1985). ÁLGEBRA RECREATIVA. (C. y. Pérez, Trad.) México, D.F.: Ediciones de Cultura Popular, S.A., pág. 72.










viernes, 29 de enero de 2016

Resolución de problemas matemáticos n° 2.


Resolución de problemas n° 2.

Para efectos de ilustración sobre conceptos previos relacionados con la resolución de problemas matemáticos y solución del problema n° 1, accédase a los mismos al seguir este enlace:


Problema 2 (Categoría: Teoría de los Números).

¿Qué día de la semana correspondió al 29 de enero de 1592? [1]

Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: múltiplo, cociente entero, regla de divisibilidad por 4, regla de divisibilidad por 400, calendario Juliano [2], calendario Gregoriano, año secular, año bisiesto [3] y días de la semana, entre otros. 

a) Calendario gregoriano. [4]

En el año 1582, el Papa Gregorio XIII (decimotercero) encargó al astrónomo italiano Cristóbal Clavio, trabajar sobre una reforma del calendario, especialmente en lo concerniente a los años bisiestos; por cuanto la duración del año no es exactamente de 365,25 días (365 1/4 días) sino de 365 días 5 horas 49 minutos y 16 segundos, según las tablas astronómicas elaboradas por la Academia de Toledo en el siglo XIII, por orden expresa de Alfonso X El Sabio (1221-1284), rey de Castilla y León.

Con base en las recomendaciones de Clavio, el Papa Gregorio XIII decretó lo siguiente:

       i.          i)  Será bisiesto aquel año cuya cifra sea divisible por 4, excepto los años seculares, múltiplos de 100, los cuales serán bisiestos únicamente si son divisibles por 400.

     ii.          ii)   Dado que desde la vigencia del calendario Juliano se habían considerado como bisiestos, años que no debieron serlo y había un error acumulado de 10 días, se quitarían 10 días al calendario: el día siguiente al 4 de octubre de 1582 (fiesta de San Francisco de Asís) sería llamada a ser 15 de octubre (este año de 1582 es el año más corto de la cristiandad, con 355 días).



[1] Adaptación del problema correspondiente al lunes 29, Calendario CIEMAC 2007, Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica (TEC).
[2] Calendario nombrado así en honor a Julio César, emperador de Roma, quien encargó a Sosígenes, astrónomo de Alejandría, perfeccionar el calendario que se usaba en esa época; para lo cual, se consideró la duración del año en 365,25 días. Debido que cada cuatro años se completaba 1 día con las fracciones (0,25 día), se conformó el año de 366 días, que se denominó bisiesto.
[3] En un año bisiesto febrero tiene 29 días y por ello, es un año de 366 días; por ejemplo, el año 2016 es bisiesto.



b) Desde el 29 de enero de 1592 hasta el 29 de enero de 2016, han transcurrido 424 años. Si se divide 424 años entre 4, el cociente entero equivale a la cantidad de años divisibles por 4; esto es, 106 años. Pero entre 1592 y 2016 hay cinco años seculares: 1600, 1700, 1800, 1900 y 2000; de los cuales tres no son bisiestos: 1700, 1800 y 1900, porque no son divisibles entre 400.


c) Del paso anterior, se concluye que 103 años de los últimos 424 años, han sido bisiestos.


d) Se puede hacer el cálculo de días transcurridos, durante el lapso indicado en el paso (b), al multiplicar los años transcurridos por 365 y sumar un día adicional por cada año bisiesto, que equivale a sumar 103; esto es:




e) Se procede a dividir 154863 días entre 7, pues una semana tiene 7 días:


Esto significa que han transcurrido 22123 semanas y 2 días.


f) En 2016, el 29 de enero corresponde al día viernes; por lo tanto, restando dos días, se obtiene que el 29 de enero de 1592 correspondió al día miércoles.


g) Conclusión: El 29 de enero de 1592 correspondió a un miércoles.



Bibliografía

Alfonseca Moreno, Manuel, El Tiempo y El Hombre, Madrid: Editorial Alhambra, S.A., 1985.

Murillo Tsijli, Manuel; González Argüello, José Fabio. (2006). Teoría de los números. Cartago, Costa Rica: Editorial Tecnológica de Costa Rica.  [4]


martes, 19 de enero de 2016

Resolución de problemas matemáticos n° 1.

Fuente: http://c.asstatic.com/images/1519133_634817230063281250-1.jpg

Inicio hoy, martes 19 de enero de 2019, aportes importantes referentes a la resolución de problemas matemáticos; eso sí, muy diferentes a los que se acostumbra plantear en la enseñanza de la Matemática propia de sistemas educativos tradicionales, caducos y retrógrados.

Actualmente, la resolución de problemas se  considera la parte más esencial de la educación matemática, por cuanto mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes están en la capacidad de experimentar el valor y la utilidad de las Matemáticas en la vida cotidiana, y tomar aprecio de la misma como una herramienta muy útil para explicar y entender los fenómenos naturales, así como un apoyo esencial tanto para las Ciencias Naturales como para las demás Ciencias Exactas, como la Estadística, por ejemplo, que es una disciplina muy valiosa para las denominadas "Ciencias Sociales", tales como: la Sociología y la Psicología, entre otras.

En primera instancia, antes de iniciar el estudio de la resolución de problemas matemáticos es necesaria la delimitación del concepto de problema; i.e,  ¿qué es lo que se entiende por problema?

Problema. 
Se define problema como una cuestión a la que no es posible contestar por la aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverlo es precisa la aplicación de varios conocimientos previos, ya sean matemáticos o no matemáticos y buscar relaciones nuevas entre éstos.

En la resolución de problemas el procedimiento a seguir no es tan evidente; incluso puede haber varios procedimientos y por supuesto, el o los procedimientos no están codificados ni se han enseñado previamente al estudiante (entiéndase estudiante como persona que está aprendiendo). La mayoría de las veces, debe recurrirse a conocimientos dispersos y poner a punto relaciones nuevas.

Posteriormente, escribiré un artículo sobre las pautas y estrategias que deben aplicarse en la resolución de problemas.

Problema 1. (Categoría: Teoría de los Números)

Determine un número de cuatro cifras de la forma aabb que sea un cuadrado perfecto.

Solución.

Para resolver este problema, los conceptos fundamentales previos son: número primo, número par, número impar, número cuadrado perfecto, divisor, múltiplo, factorización completa de un número en sus factores primos y reglas de divisibilidad, entre otros. 

Debe tenerse en cuenta lo siguiente:


ii) Existe una regla de divisibilidad para comprobar si un número dado es divisible por 11:
     "Un número es divisible por 11 sí y sólo sí la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar par y la suma de los dígitos de lugar impar es divisible por 11."
Por ejemplo, el número 1925 es divisible por 11; pues:

9 + 5 = 14  (suma de las dígitos de lugar par)

1 + 2 = 3    (suma de los dígitos de lugar impar)

14 - 3 = 11  (diferencia de las sumas anteriores)

Luego, 11 es divisor de sí mismo y por consiguiente, 1925 es divisible por 11.


Pasos para la solución del problema propuesto.

a)  Para que el número
                                   
sea un cuadrado perfecto, el número de la forma a0b debe ser múltiplo de 11, esto es  a + b debe ser un múltiplo de 11, el cual sólo puede ser 11; puesto que los dígitos pertinentes deben estar entre 2 y 9; por ejemplo:


b) Entonces:

donde el factor 9a + 1 debe ser un cuadrado perfecto.

c) Comprobando para los valores del 2 al 9, en la expresión 9a + 1, se obtiene que dicha expresión corresponde a un cuadrado perfecto cuando  a = 7; pues 9(7) + 1 = 64. Para tal efecto, puede confeccionarse una tabla en Excel como la siguiente:



d) Por consiguiente, a0b = 704  y como 704 = (64)(11), se obtiene que:

e) Conclusión:  El número buscado es 7744.


Comentario.

Mediante la resolución de este problema, usted ha podido comprobar como muchos conceptos que ha aprendido desde la enseñanza primaria y que en muchas ocasiones se juzgan como inútiles; si se utilizan adecuadamente y siguiendo un procedimiento ordenado y lógico, permiten la comprensión de conceptos diferentes y la resolución de problemas que al principio nos parecen imposibles o muy difíciles de resolver para una persona sin preparación adecuada en el campo de la Matemática.

domingo, 17 de enero de 2016

Proyecto PALE RED DOT (European Southern Observatory-ESO)


El pasado viernes 15 de enero de 2016 el Observatorio Austral Europeo (European Southern Observatory-ESO) lanzó el proyecto PALE RED DOT (Punto Rojo Pálido) cuyo objetivo es que el público general pueda seguir a científicos de todo el mundo mientras buscan exoplanetas similares a la Tierra en las cercanías de Proxima Centauri (Próxima Centauri), la estrella más próxima a nuestro sistema solar, que forma parte del sistema triple estelar Alfa Centauri de la constelación Centaurus (Centauro).

A continuación, adjunto traducción libre del comunicado e invitación de ESO con respecto al proyecto, donde se enfatiza la invitación en los divulgadores científicos.

Estimados Colaboradores de Divulgación Científica.

¡Estamos muy emocionados por invitarle a unirse a nosotros en una cacería de planetas en directo!

El viernes 15 de enero de 2016,  lanzamos el proyecto Punto Rojo Pálido - una campaña de difusión única que permitirá al público en general seguir a científicos de todo el mundo, mientras buscan un exoplaneta similar a la Tierra en las cercanías de la estrella más cercana a nosotros, Proxima Centauri. La campaña de observación se desarrollará de enero a abril de 2016 y estará acompañada por blogs y actualizaciones en los medios de comunicación social. Nadie sabe cuál será el resultado. En los meses siguientes a las observaciones, los científicos analizarán los datos y presentarán los resultados en una revista revisada por profesionales.

Usted puede leer más sobre la campaña aquí: https://www.eso.org/public/announcements/ann16002/

Las actualizaciones del blog están disponibles aquí: http://www.palereddot.org/

También puede seguir la campaña en Twitter: @Pale_Red_Dot  e interactuar con los científicos usando el hashtag #PaleRedDot

-------------------------------------------ENGLISH------------------------------

Dear outreach partners,

We are excited to invite you to join us in a live planet hunt!

On January 15, 2016 we have launched the Pale Red Dot project — a unique outreach campaign that will allow the general public to follow scientists from around the globe as they search for an Earth-like exoplanet around the closest star to us, Proxima Centauri. The observing campaign will run from January to April 2016 and will be accompanied by blog posts and social media updates. No one knows what the outcome will be. In the months following the observations, the scientists will analyse the data and submit the results to a peer-reviewed journal.

You can read more about the campaign here: https://www.eso.org/public/announcements/ann16002/

Blog updates are available here: http://www.palereddot.org/

You can also follow the campaign on Twitter @Pale_Red_Dot and interact with scientists using the hashtag #PaleRedDot


miércoles, 23 de diciembre de 2015

La Historia de los Números




Dado que en la web y en especial en las redes sociales, se encuentran historias disparatadas sobre el origen de los números, sin ningún fundamento científico ni documental, he escrito este artículo sobre la historia de los números para que el lector interesado pueda acceder a información veraz sobre el tema. Para ello, me he basado en un documental denominado "The Story of 1", producido por la BBC, donde se desarrolla la historia de los números, especialmente del número 1. Este documental es narrado por el actor Terry Jones, antiguo integrante de la compañía de teatro Monty Python.

En este documental sobre el número uno, Terry presenta en forma amena y precisa la historia de los números a partir de la historia del número uno, el cual :

  • en el uso de números para aritmética simple en Sumeria; 
  • el desarrollo de los grandes números y su uso para la ingeniería en Egipto; 
  • luego, con el matemático inglés Marcus du Sautoy, Terry discute acerca del culto de Pitágoras por los números, su sociedad secreta y el teorema de Pitágoras, entre otros temas relacionados con este famoso matemático griego y 
  • más adelante, continúa con las matemáticas teóricas de Arquímedes;
  • examina el uso de los números efectuado por los romanos, cuyo sistema de numeración era torpe e ineficiente; 
  • continúa con la discusión sobre la invención de un sistema de numeración más eficiente en la India (Indian numerals), que incluye la invención del concepto del número cero
  • el desarrollo del álgebra en el mundo islámico;
  •  el declive de los números romanos en la civilización occidental y 
  • finalmente, discute como el matemático alemán Gottfried Leiniz desarrolló el sistema binario, base esencial para el desarrollo actual de la computación y la informática, entre otras disciplinas afines. 

A continuación, adjunto el enlace al video en YouTube del documental The Story of 1, traducido al español:  La Historia del Número 1

Este es el enlace a la versión original en inglés: The Story of 1










lunes, 21 de diciembre de 2015

SOLSTICIO DE DICIEMBRE 2015




Hoy, lunes 21 de diciembre de 2015, se producirá el solsticio de diciembre a las 10:48 p.m., hora de Costa Rica, que corresponde a las 04:48 horas UTC del martes 22 de diciembre de 2015.

El solsticio de diciembre se denomina “solsticio de invierno” en el hemisferio norte, constituyendo el día más corto del año y se denomina “solsticio de verano” en el hemisferio sur, constituyendo el día más largo del año.
                                                                 
El solsticio de diciembre puede producirse un 20, 21, 22 o 23 de diciembre. Los solsticios que caen en fechas 21 o 22 de diciembre son más comunes que los que caen en fechas 22 o 23; por ejemplo, en el año 1903, fue el último año en que el solsticio ocurrió un 23 de diciembre y esto no volverá a ocurrir hasta el año 2303. Un solsticio que corresponda a un 20 de diciembre es muy raro, el próximo se producirá en el año 2080. Un aspecto importante es que estas fechas están referidas al Coordinated Universal Time (UTC), es decir, al Tiempo Coordinado Universal que es equivalente al tiempo según el meridiano de Greenwich; por lo tanto, las fechas varían según la zona de tiempo donde viva el obsevador, por ejemplo, la zona de tiempo donde se ubica Costa Rica está 6 horas atrás de la hora oficial dada en UTC, por lo cual, debe restarse 6 horas a la hora dada en UTC.

Los solsticios pueden observarse enfocándose en el punto de salida (orto) y de puesta (ocaso) del Sol, notando cuan alejado hacia el sur está el Sol durante el invierno (hemisferio norte) o cuan alejado está el Sol hacia el norte (hemisferio sur).


Durante el soslticio de diciembre los rayos solares inciden directamente sobre los puntos geográficos ubicados en el Trópico de Capricornio (hemisferio sur), mientras que en el hemisferio norte el Sol alcanza su declinación más meridional; i.e. 23,5°, en otras palabras, el Polo Norte está inclinado 23,5° alejado del Sol, como se muestra en la figura 1. 

Figura 1.
Fuente: www.timeanddate.com/calendar/december-solstice.html



Como para el hemisferio sur durante el solsticio se produce el día más largo del año, significa que las personas que viven en áreas situadas al sur del Círculo Polar Antártico y hacia el Polo Sur, podrán ver el “Sol de Medianoche”; es decir, tendrán 24 horas de luz diurna durante este lapso del año. Mientras tanto, para las personas del hemisferio norte ocurre lo contrario, pues los habitantes de las zonas experimentarán el día del año con menos horas de luz diurna y para quienes viven más allá del Círculo Polar Ártico y hacia el Polo Norte, no habrá luz solar directa durante este lapso.
                                              
Otros aspectos interesantes relacionados con el solsticio de diciembre.

1. El solsticio de diciembre es el segundo solsticio del año, pues el primero ocurre cerca del 21 de junio, es decir, los solsticios ocurren dos veces al año. Durante el solsticio de junio los rayos inciden directamente sobre el Trópico de Cáncer (hemisferio norte).

2. El solsticio ocurre en un tiempo específico, cuando los rayos solares inciden directamente sobre el Trópico de Capricornio (hemisferio sur); no obstante, la mayoría de la gente celebra el solsticio durante todo el día. Como ya se mencionó antes, para el 2015 el solsticio de diciembre ocurre el martes 22 de diciembre a las 04:48 horas UTC, pero para las localidades ubicadas al menos 5 horas atrás del tiempo según UTC, el solsticio ocurre el lunes 21 de diciembre.

3. El término solsticio deriva de la palabra en latín “solstitium”, cuyo significado en español es “Sol quieto”, porque en este día el Sol alcanza su máxima posición meridional, visto desde la Tierra y éste parece “estarse quieto” sobre el Trópico de Capricornio y luego invierte su movimiento en dirección norte; de esto deriva la palabra “trópico”, pues “tropos”, en latín, significa “cambiar de dirección”. Lo mismo ocurre para el Trópico de Cáncer, durante el solsticio de junio.

4. En el hemisferio norte, los astrónomos y científicos utilizan el solsticio de diciembre como el inicio del invierno, el cual finaliza en el equinoccio de marzo; pero para los meteorólogos, el invierno inicia tres semanas antes, el 1 de diciembre.

Más información al seguir estos enlaces:

1. timeanddate.com 




domingo, 7 de junio de 2015

International SUN Day: Actividad en Colegio Científico Costarricense, Sede Guanacaste. Viernes 19/junio/2015.


Dentro del marco de actividades de celebración del International SUN Day (Día Internacional del SOL) que se estarán efectuando en Costa Rica, del jueves 18 de junio al domingo 21 de junio de 2015, el día viernes 19 de junio de 2015 el Colegio Científico Costarricense, Sede Guanacaste (CCC-Sede Gte,), conocido como Colegio Científico de Liberia, tiene programada una actividad educativa especial, denominada encuentro científico y académico, con el destacado científico estadounidense Stephen W. Ramsden, Director del CHARLIE BATES SOLAR ASTRONOMY PROJECT (Proyecto de Astronomía Solar “Charlie Bates”) organización de gran relevancia en el ámbito mundial.

Esta actividad se ha programado con la colaboración y soporte del  CCC-Sede Gte. aprovechando la visita del Sr. Ramsden a Costa Rica, por la celebración del International SUN Day el domingo 21 de junio de 2015 (día del solsticio de junio, denominado "de verano" en el hemisferio norte y "de invierno" en el hemisferio sur) en San José, Costa Rica; por lo cual, Costa Rica será la sede mundial de la actividad que será transmitida vía “streaming” al resto del mundo.

La actividad en Liberia es una de las actividades exclusivas programadas para la visita del Sr. Ramsden, donde el CCC-Sede Gte. es la institución anfitriona de la misma, con el apoyo de PROMETEO-ELC (Director Milton Fernández F.), ALTAIR-CR y el CHARLIE BATES SOLAR ASTRONOMY PROJECT CHAPTER COSTA RICA, al cual pertenecen las dos organizaciones anteriores y el cual está dirigido por Marcy Malavassi (Altair-CR). Dada la relevancia de esta actividad y con el objetivo de estimular tanto a los estudiantes del CCC-Sede Gte. como a estudiantes talentosos de 9° año de colegios de la región de Liberia, por medio de la Dirección del CCC-Sede Gte. se ha enviado invitación formal a catorce colegios de los circuitos 02 y 04 de DIRELI-MEP, Liberia, para que envíen a la actividad los tres primeros promedios del nivel, quienes deberán venir acompañados por un encargado acreditado por la institución educativa respectiva, preferiblemente un profesor de Ciencias Naturales de 9° año.

Los colegios a los cuales se envió invitación, son los siguientes: 

1. Academia Teocali 

2. Centro Educativo CENIT 

3. CINTEG-USJ   

4. Colegio de Cañas Dulces    

5. Colegio Santa Ana  

6. CTP Artístico "Felipe Pérez" 

7. CTP de Liberia  

8. ICS/CBS

9. Instituto de Guanacaste

10.  Liceo El Consuelo

11. Liceo de Guardia

12. Liceo Laboratorio de Liberia

13. Liceo Nocturno de Liberia

14. Liceo de Quebrada Grande

Hasta el momento, solamente ha confirmado asistencia a la actividad Academia TEOCALI.


Aunque se había indicado el 2 de junio de 2015 como fecha límite para confirmar la asistencia a la actividad, se ampliará el lapso de confirmación para esta semana; ya que se necesita tramitar con tiempo los recursos para atender a los invitados que confirmen previamente.

SI USTED ES ESTUDIANTE DE UNA DE ESTAS INSTITUCIONES EDUCATIVAS, CURSA  9° AÑO Y ESTÁ UBICADO ENTRE LOS TRES PRIMEROS PROMEDIOS DEL NIVEL, COMUNÍQUESE CON SU PROFESOR DE CIENCIAS Ó CON LA DIRECCIÓN DE LA INSTITUCIÓN RESPECTIVA,  PARA QUE CONFIRMEN LA ASISTENCIA A LA ACTIVIDAD Y PUEDAN PARTICIPAR EN LA MISMA. 

Un aspecto importante es que la invitación está dirigida a los estudiantes como premio y estímulo a su desempeño académico, por lo tanto, tienen todo el derecho a que se les acredite el permiso para asistir a la actividad, sobretodo por el nivel de la misma y a que constituye una clase presencial con un científico de alto nivel.


Programa de la actividad.

Lugar: Miniauditorio de la Universidad de Costa Rica, Sede Guanacaste, Liberia.

9:00 a.m. a 10:30 a.m:  
Charla con el Sr. Stephen W. Ramsden, Astrofísico y científico destacado en varios campos.

10:30 a.m. a 12:30 p.m.:

Refrigerio y actividad para que los estudiantes interactúen con el Sr. Ramsden; además, un grupo de estudiantes del CCC Sede Guanacaste, presentarán al Sr. Ramsden y a los demás asistentes a la actividad, un proyecto relacionado con el aprovechamiento de energía solar.

Durante este lapso los participantes podrán observar el Sol con equipo especializado único en Costa Rica, aportado por el Charlie Bates Solar Astronomy Projec-Chapter Costa Rica y ALTAIR-Costa Rica; también, PROMETEO-ELC, aportará dos solarscopios para efectuar observación indirecta del Sol.



1:00 p.m. Fin de la actividad, por visita del Sr. Ramsden, al Laboratorio de Plasma de AD ASTRA ROCKET-CR, a las 2 p.m.



Algunas imágenes de observaciones solares efectuadas en diferentes comunidades de Costa Rica.


















Otros detalles.
1. La actividad tendrá cobertura por parte de la Oficina de Prensa del MICITT y esta institución nos colaborará con la transmisión vía "streaming" de la misma. También, es posible que se cuente con la presencia del Ministro de Ciencia y Tecnología, Dr. Marcelo Jenkins Coronas o de la Viceministra de Ciencia y Tecnología, Ing. Carolina Vázquez Soto.

2. El Noticiero de Canal 36, canal local guanacasteco, con sede en Liberia, efectuará cobertura de la actividad y Radio Pampa, efectuará entrevista radial en directo al Sr. Ramsden.


Resumen de biografía de Stephen W. Ramsden (en inglés).



Logos del International SUN Day 2015.




Afiche de la actividad en el Museo Nacional de Costa Rica, San José.
Domingo 21 de junio de 2015, de 9:00 a.m. a 12 md.
ENTRADA GRATUITA



Enlaces relacionados.










NOTA.
Para el día domingo 21 de junio de 2015, tengo previsto organizar actividad en el Museo de Guanacaste, Liberia, Costa Rica, para que los liberianos, guanacastecos y personas que nos visitan, puedan participar en actividades del International SUN Day, desde esta ciudad. Luego publicaré información relacionada con dicha actividad.


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